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高考数学课时分层训练(十三) 变化率与导数、导数的计算  

2018-04-01 07:43:42|  分类: 试题精选 |  标签: |举报 |字号 订阅

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课时分层训练(十三) 

变化率与导数、导数的计算

A组 基础达标

(建议用时:30分钟)

一、选择题

1.函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为(  )

【导学号:01772077

A2(x2a2)         B.2(x2a2)

C3(x2a2)     D.3(x2a2)

C [f(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3,∴f(x)3(x2a2)] 

2.已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)2xf(1)ln x,则f(1)等于(  )

A.-e       B.1

C.1       D.e

B [f(x)2xf(1)ln x,得f(x)2f(1)+,

f(1)2f(1)1,则f(1)=-1.] 

3.曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程是(  )

Ax3y30     B.x2y20

C2xy10     D.3xy10

C [ycos xex,故切线斜率为k2,切线方程为y2x1,即2xy10.] 

4(2014·全国卷Ⅱ)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x,则a(  )

A0       B.1

C.2       D.3

D [f(x)axln(x1),则f(x)a.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f(0)a1.又切线方程为y2x,则有a12,∴a3.]

5.已知f(x)x32x2x6,则f(x)在点P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于(  )

【导学号:01772078

A4       B.5

C.       D.

C [f(x)x32x2x6

f(x)3x24x1,∴f(1)8

故切线方程为y28(x1),即8xy100

x0,得y10,令y0,得x=-,

∴所求面积S××10.]

二、填空题

6(2017·郑州二次质量预测)曲线f(x)x3x3在点P(1,3)处的切线方程是________

2xy10 [由题意得f(x)3x21,则f(1)3×1212,即函数f(x)的图象在点P(1,3)处的切线的斜率为2,则切线方程为y32(x1),即2xy10.]

7.若曲线yax2ln x在点(1a)处的切线平行于x轴,则a________.

【导学号:01772079

 [因为y2ax-,所以y|x12a1.因为曲线在点(1a)处的切线平行于x轴,故其斜率为0,故2a10a.]

2?10?1

8.如图2?10?1yf(x)是可导函数,直线lykx2是曲线yf(x)x3处的切线,令g(x)xf(x),其中g(x)g(x)的导函数,则g(3)________.

0 [由题图可知曲线yf(x)x3处切线的斜率等于-,即f(3)=-.

又因为g(x)xf(x)

所以g(x)f(x)xf(x)g(3)f(3)3f(3)

由题图可知f(3)1,所以g(3)13×0.]

三、解答题

9.求下列函数的导数:

(1)yx·tan x

(2)y(x1)(x2)(x3)

(3)y.

[] (1)y(x·tan x)xtan xx(tan x)

tan xx·tan xx·

tan x.

(2)y(x1)[(x2)(x3)](x1)[(x2)(x3)](x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x3)3x212x11.

(3)y

==

.

10.已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:

(1)斜率最小的切线方程;

(2)切线l的倾斜角α的取值范围.

[] (1)yx24x3(x2)211    2

所以当x2时,y=-1y=,

所以斜率最小的切线过点,    4

斜率k=-1

所以切线方程为xy-=0.        6

(2)(1)k19

所以tan α1,所以α∈∪.    12

B组 能力提升

(建议用时:15分钟)

1(2016·山东高考)若函数yf(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称yf(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是(  )

Aysin x     B.yln x

Cyex     D.yx3

A [yf(x)的图象上存在两点(x1f(x1))(x2f(x2))

使得函数图象在这两点处的切线互相垂直,则f(x1f(x2)=-1.

对于Aycos x,若有cos x1·cos x2=-1,则当x12kπx22kππ(kZ)时,结论成立;

对于By=,若有·=-1,即x1x2=-1,∵x>0,∴不存在x1x2,使得x1x2=-1

对于Cyex,若有ex1·ex2=-1,即ex1x2=-1.显然不存在这样的x1x2

对于Dy3x2,若有3x·3x=-1,即9xx=-1,显然不存在这样的x1x2.

综上所述,选A.]

2(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)ln(x)3x,则曲线yf(x)在点(1,-3)处的切线方程是________

y=-2x1 [因为f(x)为偶函数,所以当x>0时,f(x)f(x)ln x3x,所以f(x)=-3,则f(1)=-2.所以yf(x)在点(1,-3)处的切线方程为y3=-2(x1),即y=-2x1.]

3.已知函数f(x)x-,g(x)a(2ln x)(a0).若曲线yf(x)与曲线yg(x)x1处的切线斜率相同,求a的值,并判断两条切线是否为同一条直线.

 

【导学号:01772080

[] 根据题意有f(x)1+,g(x)=-. 2

曲线yf(x)x1处的切线斜率为f(1)3

曲线yg(x)x1处的切线斜率为g(1)=-a

所以f(1)g(1),即a=-3. 6

曲线yf(x)x1处的切线方程为

yf(1)3(x1)

所以y13(x1),即切线方程为3xy40.9

曲线yg(x)x1处的切线方程为

yg(1)3(x1)

所以y63(x1),即切线方程为3xy90

所以,两条切线不是同一条直线. 12

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