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高考数学课时分层训练(十一) 函数与方程  

2018-04-01 07:41:50|  分类: 试题精选 |  标签: |举报 |字号 订阅

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课时分层训练(十一) 函数与方程

A组 基础达标

(建议用时:30分钟)

一、选择题

1.若函数f(x)axb有一个零点是2,那么函数g(x)bx2ax的零点是(  )

【导学号:01772061

A0,2           B.0

C0,-     D.2,-

C [由题意知2ab0,即b=-2a.

g(x)bx2ax0,得x0x==-.]

2(2017·郑州模拟)已知实数a1,0b1,则函数f(x)axxb的零点所在的区间是(  )

A(2,-1)     B.(1,0)

C(0,1)     D.(1,2)

B [a1,0b1f(x)axxb

f(1)=-1b0f(0)1b0

由零点存在性定理可知f(x)在区间(1,0)上存在零点.]

3.函数f(x)xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为(  )

A4       B.5

C.6       D.7

C [f(x)xcos x20,得x0cos x20.

x[0,4],所以x2[0,16]

由于cos0(kZ)

而在+kπ(kZ)的所有取值中,只有,,,,

满足在[0,16]内,故零点个数为156.] 

4.已知函数f(x)=则使函数g(x)f(x)xm有零点的实数m的取值范围是(  )

A[0,1)     B.(-∞,1)

C(-∞,1](2,+∞)     D.(-∞,0](1,+∞)

D [函数g(x)f(x)xm的零点就是方程f(x)xm的根,画出h(x)f(x)x=的大致图象(图略)

观察它与直线ym的交点,得知当m0m1时,有交点,即函数g(x)f(x)xm有零点.]

5(2016·湖北七校2月联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数yf(2x21)f(λx)只有一个零点,则实数λ的值是(  )

A.       B.

C.-       D.

C [yf(2x21)f(λx)0,则f(2x21)=-f(λx)f(xλ),因为f(x)R上的单调函数,所以2x21xλ只有一个实根,即2x2x1λ0只有一个实根,则Δ18(1λ)0,解得λ=-.故选C.]

二、填空题

6.已知关于x的方程x2mx60的一个根比2大,另一个根比2小,则实数m的取值范围是________

 

【导学号:01772062

(-∞,1) [设函数f(x)x2mx6,则根据条件有f(2)0,即42m60,解得m1.]

7(2016·浙江高考)设函数f(x)x33x21,已知a0,且f(x)f(a)(xb)(xa)2xR,则实数a________b________.

2 1 [f(x)x33x21,则f(a)a33a21

f(x)f(a)(xb)(xa)2(xb)(x22axa2)x3(2ab)x2(a22ab)xa2bx33x2a33a2.

由此可得

a0,∴由②得a=-2b,代入①式得b1a=-2.]

8(2015·湖南高考)若函数f(x)|2x2|b有两个零点,则实数b的取值范围是__________

(0,2) [f(x)|2x2|b0|2x2|b.

在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|yb的图象,如图所示,

则当0<b<2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)|2x2|b有两个零点.]

三、解答题

9.已知函数f(x)x3x2++.证明:存在x0∈,使f(x0)x0.

[证明] g(x)f(x)x.        2

g(0)=,gf-=-,

g(0)·g0.        7

又函数g(x)在上连续,

∴存在x0∈,使g(x0)0

f(x0)x0.        12

10.已知二次函数f(x)x2(2a1)x12a

(1)判断命题:"对于任意的aR,方程f(x)1必有实数根"的真假,并写出判断过程;

(2)yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点,求实数a的取值范围.

[] (1)"对于任意的aR,方程f(x)1必有实数根"是真命题.

依题意,f(x)1有实根,即x2(2a1)x2a0有实根.    3

因为Δ(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR恒成立,即x2(2a1)x2a0必有实根,从而f(x)1必有实根.    5

(2)依题意,要使yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点,

只需        7

即解得<a<.        10

故实数a的取值范围为.    12

B组 能力提升

(建议用时:15分钟)

1(2017·郑州模拟)已知函数f(x)(aR),若函数f(x)R上有两个零点,则a的取值范围是(  )

A(-∞,-1)     B.(-∞,-1]

C[1,0)     D.(0,1]

D [因为当x0时,f(x)2x1

f(x)0x.

所以要使f(x)R上有两个零点,则必须2xa0(0]上有唯一实数解.

又当x(0]时,2x(0,1],且y2x(0]上单调递增,

故所求a的取值范围是(0,1]]

2.函数f(x)=则函数yf[f(x)]1的所有零点所构成的集合为________

 

【导学号:01772063

 [由题意知f[f(x)]=-1,由f(x)=-1x=-2x=,

则函数yf[f(x)]1的零点就是使f(x)=-2f(x)=的x的值.

f(x)=-2x=-3x=,

f(x)=得x=-或x=,

从而函数yf[f(x)]1的零点构成的集合为.]

3.若关于x的方程22x2xaa10有实根,求实数a的取值范围.

[] 法一(换元法):设t2x(t0),则原方程可变为t2ata10(*)

原方程有实根,即方程(*)有正根.

f(t)t2ata1.        3

①若方程(*)有两个正实根t1t2

则解得-1a22    6

②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意,舍去),则f(0)a10,解得a<-1        9

③若方程(*)有一个正实根和一个零根,则f(0)0且->0,解得a=-1.

综上,a的取值范围是(22].    12

法二(分离变量法):由方程,解得a=-,    3

t2x(t0)

a=-=-

2-,其中t11        9

由基本不等式,得(t1)2,当且仅当t=-1时取等号,故a22.         12

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