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高考数学课时分层训练(51) 抛物线  

2018-04-14 07:44:52|  分类: 试题精选 |  标签: |举报 |字号 订阅

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课时分层训练(五十一) 抛物线

A组 基础达标

(建议用时:30分钟)

一、选择题

1(2016·四川高考)抛物线y24x的焦点坐标是(  )

A(0,2)           B.(0,1)

C(2,0)     D.(1,0)

D [y24xp2,故抛物线的焦点坐标为(1,0)]

2(2017·广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线yx2上,且与直线y30相切,则此圆恒过定点(  )

A(0,2)     B.(0,-3)

C(0,3)     D.(0,6)

C [直线y30是抛物线x212y的准线,由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y=-3的距离与到焦点(0,3)的距离相等,所以此圆恒过定点(0,3)]

3.抛物线y24x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是(  )

A.     B.

C1     D.

B [由双曲线x2-=1知其渐近线方程为y±x,即x±y0

y24x的焦点F(1,0)

∴焦点F到直线的距离d==.]

4.设抛物线Cy22px(p>0)的焦点为F,点MC上,|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为(  )

Ay24xy28x

By22xy28x

Cy24xy216x

Dy22xy216x

C [由已知得抛物线的焦点F,设点A(0,2),点M(x0y0)

则=,=.

由已知得,·0,即y8y0160

因而y04M.

|MF|5,得=5

p>0,解得p2p8.

C的方程为y24xy216x.]

5O为坐标原点,F为抛物线Cy24x的焦点,PC上一点,若|PF|4,则△POF的面积为(  )

【导学号:01772325

A2     B.2

C2     D.4

C [如图,设点P的坐标为(x0y0)

|PF|x0+=4,得x03

代入抛物线方程得,y4×324

所以|y0|2

所以SPOF|OF||y0|××22.]

二、填空题

6(2017·山西四校三联)过抛物线y24x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于AB两点,则弦长|AB|__________.

【导学号:01772326

8 [A(x1y1)B(x2y2).易得抛物线的焦点是F(1,0),所以直线AB的方程是yx1.

联立消去yx26x10.

所以x1x26,所以|AB|x1x2p628.]

7如图8?7?1,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为ab(a<b),原点OAD的中点,抛物线y22px(p>0)经过CF两点,则=__________.

8?7?1

1 [由题意可得CF

则=+1(舍去1)]

8(2017·江西九校联考)抛物线y22px(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线y2x21相交于AB两点,若△ABF为等边三角形,则p__________.

2 [y22px的准线为x=-.

由于△ABF为等边三角形.

因此不妨设AB.

又点AB在双曲线y2x21

从而-=1,所以p2.]

三、解答题

9.已知抛物线y22px(p>0),过点C(2,0)的直线l交抛物线于AB两点,坐标原点为O·12.

(1)求抛物线的方程;

(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程.

[] (1)lxmy2,代入y22px中,

y22pmy4p0.        2

A(x1y1)B(x2y2),则y1y22pmy1y24p

x1x2==4

因为·x1x2y1y244p12,可得p2

则抛物线的方程为y24x.        5

(2)(1)y24xp2,可知y1y24my1y28.    7

AB的中点为M

|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24.

|AB||y1y2|.

由①②得(1m2)(16m232)(4m24)2    10

解得m23m±

所以直线l的方程为xy20xy20.    12

10.已知过抛物线y22px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1y1)B(x2y2)(x1<x2)两点,且|AB|9.

【导学号:01772327

(1)求该抛物线的方程;

(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.

[] (1)由题意得直线AB的方程为y2

y22px联立,从而有4x25pxp20

所以x1x2.        3

由抛物线定义得|AB|x1x2p=+p9

所以p4,从而该抛物线的方程为y28x.    5

(2)(1)4x25pxp20,即x25x40,则x11x24,于是y1=-2y24

从而A(1,-2)B(4,4).        8

C(x3y3),则=(x3y3)(1,-2)λ(4,4)(4λ1,4λ2).10

y8x3,所以[2(2λ1)]28(4λ1)

整理得(2λ1)24λ1,解得λ0λ2.        12

B组 能力提升

(建议用时:15分钟)

1(2014·全国卷Ⅱ)F为抛物线Cy23x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交CAB两点,则|AB|(  )

A.     B.6

C12     D.7

C [F为抛物线Cy23x的焦点,

F

AB的方程为y0tan 30°,即yx.

联立得x2x+=0

x1x2=-=,即xAxB.

由于|AB|xAxBp

|AB|=+=12.]

2(2017·衡水中学月考)已知直线lykxt与圆:x2(y1)21相切,且与抛物线Cx24y交于不同的两点MN,则实数t的取值范围是________________

t>0t<3 [因为直线l与圆相切,所以=1?k2t22t.再把直线l的方程代入抛物线方程并整理得x24kx4t0

于是Δ16k216t16(t22t)16t>0

解得t>0t<3.]

3.抛物线y24x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于AB两点.

(1)若=2 ,求直线AB的斜率;

(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.

【导学号:01772328

[] (1)依题意知F(1,0),设直线AB的方程为xmy1.

将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x

y24my40.         2

A(x1y1)B(x2y2),所以y1y24my1y2=-4.

因为=2 ,所以y1=-2y2.

联立上述三式,消去y1y2m±.

所以直线AB的斜率是±2.         5

(2)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,

从而点O与点C到直线AB的距离相等,

所以四边形OACB的面积等于2SAOB.        8

因为2SAOB2×·|OF|·|y1y2|

==4

所以当m0时,四边形OACB的面积最小,最小值是4.         12

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