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高考数学课时分层训练(43) 空间向量及其运算  

2018-04-13 08:02:35|  分类: 试题精选 |  标签: |举报 |字号 订阅

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课时分层训练(四十三) 空间向量及其运算

A组 基础达标

(建议用时:30分钟)

一、选择题

1.在空间直角坐标系中,A(1,2,3)B(2,-1,6)C(3,2,1)D(4,3,0),则直线ABCD的位置关系是(  )

A.垂直           B.平行

C.异面     D.相交但不垂直

B [由题意得,=(3,-3,3),=(1,1,-1)

∴=-3

∴与共线,

又与没有公共点.

ABCD.]

2.已知a(2,1,3)b(1,2,1),若a(aλb),则实数λ的值为(  )

【导学号:01772269

A.-2     B.

C.     D.2

D [由题意知a·(aλb)0,即a2λa·b0,所以147λ0,解得λ2.]

3.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等,EBC的中点,那么(  )

【导学号:01772270

A.·<·

B.··

C.·>·

D.··的大小不能比较

C [BD的中点F,连接EF,则EFCD.

因为AEBC

〈,〉=〈,〉>90°.

所以·0·<0

因此·>·.]

4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点EF分别是BCAD的中点,则·的值为(  )

Aa2     B.a2

C.a2     D.a2

C [如图,设=a,=b,=c

|a||b||c|a,且abc三向量两两夹角为60°.

(ab),=c

·(abc

(a·cb·c)(a2cos 60°a2cos 60°)a2.]

5.如图7?6?7,在大小为45°的二面角A?EF?D中,四边形ABFECDEF都是边长为1的正方形,则BD两点间的距离是(  )

7?6?7

A.     B.

C1     D.

D [∵=++,

||2||2||2||2111-=3-,故||.]

二、填空题

6.已知a(2,1,-3)b(1,2,3)c(7,6λ),若abc三向量共面,则λ________.

【导学号:01772271

9 [由题意知cxayb

(7,6λ)x(2,1,-3)y(1,2,3)

∴解得λ=-9.]

7.正四面体ABCD的棱长为2EF分别为BCAD中点,则EF的长为________.

【导学号:01772272

 [||2(++)2

=+++2(···)

1222122(1×2×cos 120°02×1×cos 120°)

2

||=,∴EF的长为.]

8.已知O(0,0,0)A(1,2,3)B(2,1,2)P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当·取最小值时,点Q的坐标是________

 [由题意,设=λ,即=(λλ2λ)

则=(1λ2λ32λ),=(2λ1λ22λ)

·(1λ)(2λ)(2λ)(1λ)(32λ)(22λ)6λ216λ1062-,当λ=时有最小值,此时Q点坐标为.]

三、解答题

9.已知空间中三点A(2,0,2)B(1,1,2)C(3,0,4),设a=,b.

(1)|c|3,且c∥,求向量c

(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.

[] (1)c∥,=(3,0,4)(1,1,2)(2,-1,2)

cmm(2,-1,2)(2m,-m,2m)    2

|c|==3|m|3

m±1.

c(2,-1,2)(2,1,-2).        5

(2)a(1,1,0)b(1,0,2)

a·b(1,1,0)·(1,0,2)=-1.        7

又∵|a|==,

|b|==,

cosab〉===-,

故向量a与向量b的夹角的余弦值为-.        12

10(2017·长春模拟)已知空间三点A(0,2,3)B(2,1,6)C(1,-1,5)

(1)求以,为边的平行四边形的面积;

(2)|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.

[] (1)由题意可得:=(2,-1,3),=(1,-3,2),所以cos〈,〉=

===.        3

所以sin〈,〉=,

所以以,为边的平行四边形的面积为

S2×||·||·sin〈,〉=14×7.    5

(2)a(xyz),由题意得

解得或

所以向量a的坐标为(1,1,1)(1,-1,-1).    12

B组 能力提升

(建议用时:15分钟)

1ABCD是空间不共面的四点,且满足·0·0·0MBC中点,则△AMD(  )

A.钝角三角形

B.锐角三角形

C.直角三角形

D.不确定

C [MBC中点,

∴=()

·(

··0.

AMAD,△AMD为直角三角形.]

2.已知2ab(0,-5,10)c(1,-2,-2)a·c4|b|12,则以bc为方向向量的两直线的夹角为________

60° [由题意得,(2abc01020=-10.

2a·cb·c=-10.

又∵a·c4,∴b·c=-18

cosbc〉===-,

∴〈bc〉=120°,∴两直线的夹角为60°.]

3.在直三棱柱ABC?ABC′中,ACBCAA′,∠ACB90°DE分别为ABBB′的中点.

7?6?8

(1)求证:CEAD

(2)求异面直线CEAC′所成角的余弦值.

【导学号:01772273

[] (1)证明:设=a,=b,=c

根据题意得,|a||b||c|

a·bb·cc·a0

∴=bc,=-cba.    3

·=-c2b20.

∴⊥,即CEAD.        5

(2)∵=-ac|||a||||a|.

·(acc2|a|2

cos〈,〉==.        10

即异面直线CEAC所成角的余弦值为.        12

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