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高考数学课时分层训练(40) 空间点、直线、平面之间的位置关系  

2018-04-13 07:59:53|  分类: 试题精选 |  标签: |举报 |字号 订阅

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课时分层训练(四十) 

空间点、直线、平面之间的位置关系

A组 基础达标

(建议用时:30分钟)

一、选择题

1(2015·湖北高考)l1l2表示空间中的两条直线,若pl1l2是异面直线,ql1l2不相交,则(  )

Apq的充分条件,但不是q的必要条件

Bpq的必要条件,但不是q的充分条件

Cpq的充分必要条件

Dp既不是q的充分条件,也不是q的必要条件

A [l1l2异面,则l1l2一定不相交;若l1l2不相交,则l1l2是平行直线或异面直线,故p?qqD?/p,故pq的充分不必要条件.]

2.已知abc为三条不重合的直线,已知下列结论:①若abac,则bc;②若abac,则bc;③若abbc,则ac.其中正确的个数为(  )

A0     B.1

C2     D.3

B [法一:在空间中,若abac,则bc可能平行,也可能相交,还可能异面,所以①②错,③显然成立.

法二:构造长方体或正方体模型可快速判断,①②错,③正确.]

3(2017·郑州联考)已知直线a和平面αβαβla?αa?β,且aαβ内的射影分别为直线bc,则直线bc的位置关系是(  )

A.相交或平行

B.相交或异面

C.平行或异面

D.相交、平行或异面

D [依题意,直线bc的位置关系可能是相交、平行或异面.]

4.若空间中四条两两不同的直线l1l2l3l4满足l1l2l2l3l3l4,则下列结论一定正确的是(  )

【导学号:01772251

Al1l4

Bl1l4

Cl1l4既不垂直也不平行

Dl1l4的位置关系不确定

D [如图,在长方体ABCD?A1B1C1D1中,记l1DD1l2DCl3DA.l4AA1,满足l1l2l2l3l3l4,此时l1l4,可以排除选项AC.

若取C1Dl4,则l1l4相交;若取BAl4,则l1l4异面;取C1D1l4,则l1l4相交且垂直.

因此l1l4的位置关系不能确定.]

5(2017·河北师大附中月考)三棱柱ABC?A1B1C1中,AA1ACAB所成的角均为60°,∠BAC90°,且ABACAA1,则A1BAC1所成角的正弦值为

(  )

A1     B.

C.     D.

D [如图所示,把三棱柱补形为四棱柱ABDC?A1B1D1C1,连接BD1A1D1,则BD1AC1,则∠A1BD1就是异面直线A1BAC1所成的角,设A1Ba,在△A1BD1中,A1BaBD1aA1D1a,∴sinA1BD1.]

二、填空题

6.如图7?3?7所示,正方体ABCD?A1B1C1D1中,MN分别为棱C1D1C1C的中点,有以下四个结论:

7?3?7

①直线AMCC1是相交直线;

②直线AMBN是平行直线;

③直线BNMB1是异面直线;

④直线MNAC所成的角为60°.

其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论序号都填上)

③④ [由题图可知AMCC1是异面直线,AMBN是异面直线,BNMB1为异面直线.

因为D1CMN,所以直线MNAC所成的角就是D1CAC所成的角,且角为60°.]

7. (2017·佛山模拟)如图7?3?8所示,在正三棱柱ABC?A1B1C1中,DAC的中点,AA1AB=∶1,则异面直线AB1BD所成的角为________

7?3?8

60° [A1C1 的中点E,连接B1EEDAE

RtAB1E中,∠AB1E即为所求,

AB1,则A1A=,AB1=,B1E=,AE=,故∠AB1E60°.]

8.如图7?3?9,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且ABCD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.

【导学号:01772252

7?3?9

4 [CD的中点为G(图略),由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行,从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内,所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交.故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.]

三、解答题

9.如图7?3?10所示,正方体ABCD?A1B1C1D1中,MN分别是A1B1B1C1的中点.问:

7?3?10

(1)AMCN是否是异面直线?说明理由;

(2)D1BCC1是否是异面直线?说明理由.

[] (1)AMCN不是异面直线.理由:连接MNA1C1AC.

因为MN分别是A1B1B1C1的中点,所以MNA1C1.        2

又因为A1AC1C,所以A1ACC1为平行四边形,

所以A1C1AC,所以MNAC

所以AMNC在同一平面内,

AMCN不是异面直线.        5

(2)直线D1BCC1是异面直线.        6

理由:因为ABCD?A1B1C1D1是正方体,所以BCC1D1不共面.假设D1BCC1不是异面直线,

则存在平面α,使D1B?平面αCC1?平面α

所以D1BCC1α        10

这与BCC1D1不共面矛盾,所以假设不成立,

D1BCC1是异面直线.        12

10.如图7?3?11所示,在三棱锥P?ABC中,PA⊥底面ABCDPC的中点.已知∠BAC=,AB2AC2PA2.求:

7?3?11

(1)三棱锥P?ABC的体积;

(2)异面直线BCAD所成角的余弦值.

[] (1)SABC×2×22

三棱锥P?ABC的体积为

VSABC·PA×2×2.        5

(2)如图,取PB的中点E,连接DEAE,则EDBC,所以∠ADE是异面直线BCAD所成的角(或其补角).        8

在△ADE中,DE2AE=,AD2cosADE==.

故异面直线BCAD所成角的余弦值为.        12

B组 能力提升

(建议用时:15分钟)

1(2017·南昌二模)α为平面,ab为两条不同的直线,则下列叙述正确的是(  )

A.若aαbα,则ab

B.若aαab,则bα

C.若aαab,则bα

D.若aαab,则bα

B [aαbα,则ab相交、平行或异面,故A错误;易知B正确;

aαab,则bαb?α,故C错误;

aαab,则bαb?αbα相交,故D错误.]

2.如图7?3?12,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且ACBC2,∠ACB90°FG分别是线段AEBC的中点,则ADGF所成的角的余弦值为________.

【导学号:01772253

7?3?12

 [DE的中点H,连接HFGH.

由题设,HFAD

∴∠GFH为异面直线ADGF所成的角(或其补角)

在△GHF中,可求HF=,

GFGH=,

 

cosGFH==.]

3(2016·广州模拟)已知三棱锥A?BCD中,ABCD,且直线ABCD60°角,点MN分别是BCAD的中点,求直线ABMN所成的角.

[] 如图,取AC的中点P.连接PMPN,又点MN分别是BCAD的中点,

PMAB,且PMAB

PNCD,且PNCD

所以∠MPNABCD所成的角(或其补角).    6

则∠MPN60°或∠MPN120°

①若∠MPN60°,因为PMAB,所以∠PMNABMN所成的角(或其补角)

又因为ABCD,所以PMPN

则△PMN是等边三角形,所以∠PMN60°

ABMN所成的角为60°.        9

②若∠MPN120°,则易知△PMN是等腰三角形,

所以∠PMN30°,即ABMN所成的角为30°.

综上,直线ABMN所成的角为60°30°.        12

 

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