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高考数学课时分层训练(37) 数学归纳法  

2018-04-12 07:59:09|  分类: 试题精选 |  标签: |举报 |字号 订阅

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课时分层训练(三十七) 数学归纳法

A组 基础达标

(建议用时:30分钟)

一、选择题

1.用数学归纳法证明2n>2n1n的第一个取值应是(  )

A1           B.2

C3     D.4

C [n1时,212,2×113,2n>2n1不成立;

n2时,224,2×215,2n>2n1不成立;

n3时,238,2×317,2n>2n1成立.

n的第一个取值应是3.]

2.一个关于自然数n的命题,如果验证当n1时命题成立,并在假设当nk(k1kN*)时命题成立的基础上,证明了当nk2时命题成立,那么综合上述,对于(  )

A.一切正整数命题成立

B.一切正奇数命题成立

C.一切正偶数命题成立

D.以上都不对

B [本题证的是对n1,3,5,7命题成立,即命题对一切正奇数成立.]

3.在数列{an}中,a1=,且Snn(2n1)an,通过求a2a3a4,猜想an的表达式为(  )

【导学号:01772235

A.          B.

C.     D.

C [a1=,Snn(2n1)an求得a2==,a3==,a4==.猜想an.]

4.凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)

(  )

【导学号:01772236

Af(n)n1     B.f(n)n

Cf(n)n1     D.f(n)n2

C [边数增加1,顶点也相应增加1个,它与和它不相邻的n2个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加(n1)条.]

5.用数学归纳法证明3(27k)能被9整除,证明nk1时,应将3(27k1)配凑成(  )

【导学号:01772237

A621·7k     B.3(27k)21

C3(27k)     D.21(27k)36

D [要配凑出归纳假设,故3(27k1)3(27·7k)621·7k21(27k)36.]

二、填空题

6.用数学归纳法证明"当n为正奇数时,xnyn能被xy整除",当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时,进而需证n__________时,命题亦真.

2k1 [n为正奇数,假设n2k1成立后,需证明的应为n2k1时成立.]

7.用数学归纳法证明123+…+n2=,则当nk1时左端应在nk的基础上加上的项为__________

(k21)(k22)+…+(k1)2 [nk时左端为123k(k1)(k2)k2

则当nk1时,左端为

123k2(k21)(k22)(k1)2

故增加的项为(k21)(k22)(k1)2.]

8.已知f(n)1+++…+(nN*),经计算得f(4)>2f(8)>f(16)>3f(32)>,则其一般结论为__________________

f(2n)>(n2nN*) [因为f(22)>f(23)>f(24)>f(25)>,所以当n2时,有f(2n)>.故填f(2n)>(n2nN*)]

三、解答题

9.用数学归纳法证明:1+++…+<2(nN*n2).

【导学号:01772238

[证明] (1)n2时,1+=<2-=,命题成立.    3

(2)假设nk时命题成立,即

1+++<2.        6

nk1时,1+++++<2-+<2-+=2-+-

2-命题成立.        10

(1)(2)知原不等式在nN*n2时均成立.    12

10在数列{an}中,a12an1λanλn1(2λ)2n(nN*λ>0)

(1)a2a3a4

(2)猜想{an}的通项公式,并加以证明.

[] (1)a22λλ22(2λ)λ222

a3λ(λ222)λ3(2λ)222λ323

a4λ(2λ323)λ4(2λ)233λ424.    5

(2)(1)可猜想数列通项公式为:

an(n1)λn2n.        7

下面用数学归纳法证明:

①当n1,2,3,4时,等式显然成立,

②假设当nk(k4kN*)时等式成立,

ak(k1)λk2k        9

那么当nk1时,

ak1λakλk1(2λ)2k

λ(k1)λkλ2kλk12k1λ2k

(k1)λk1λk12k1

[(k1)1]λk12k1

所以当nk1时,猜想成立,

由①②知数列的通项公式为an(n1)λn2n(nN*λ>0).    12

B组 能力提升

(建议用时:15分钟)

1.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:"当f(k)k2成立时,总可推出f(k1)(k1)2成立."那么,下列命题总成立的是(  )

A.若f(1)<1成立,则f(10)<100成立

B.若f(2)<4成立,则f(1)1成立

C.若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立

D.若f(4)16成立,则当k4时,均有f(k)k2成立

D [f(k)k2成立时,f(k1)(k1)2成立,

f(4)16时,有f(5)52f(6)62f(k)k2成立.]

2.设平面内有n条直线(n3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)__________;当n>4时,f(n)__________(n表示)

5 (n1)(n2)(n3) [f(3)2f(4)f(3)3235

f(n)f(3)34(n1)

234(n1)

(n1)(n2)(n3)]

3.设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn2nan13n24nnN*,且S315.

(1)a1a2a3的值;

(2)求数列{an}的通项公式.

[] (1)由题意知S24a320

S3S2a35a320.        2

S315,∴a37S24a3208.

S2S1a2(2a27)a23a27

a25a1S12a273.

综上知,a13a25a37.        5

(2)(1)猜想an2n1,下面用数学归纳法证明.

①当n1时,结论显然成立;        7

②假设当nk(k1)时,ak2k1

Sk357(2k1)==k(k2)

Sk2kak13k24k

k(k2)2kak13k24k

解得2ak14k6        10

ak12(k1)1,即当nk1时,结论成立.

由①②知,?nN*an2n1.     12

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