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高考数学课时分层训练(二十六) 平面向量的数量积与平面向量应用举例  

2018-04-11 08:06:04|  分类: 试题精选 |  标签: |举报 |字号 订阅

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课时分层训练(二十六) 

平面向量的数量积与平面向量应用举例

A组 基础达标

(建议用时:30分钟)

一、选择题

1.在边长为1的等边△ABC中,设=a,=b,=c,则a·bb·cc·a(  )

【导学号:01772152

A.-      B.0 

C.      D.3

A [依题意有a·bb·cc·a=++=-.]

2(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a(1m)b(3,-2),且(ab)b,则m(  )

A.-8     B.6

C.6     D.8

D [法一:因为a(1m)b(3,-2),所以ab(4m2)

因为(ab)b,所以(abb0,所以122(m2)0,解得m8.

法二:因为(ab)b,所以(abb0,即a·bb232m32(2)2162m0,解得m8.]

3.平面四边形ABCD中,+=0(0,则四边形ABCD (  )

【导学号:01772153

A.矩形     B.正方形

C.菱形     D.梯形

C [因为+=0,所以AB=-=,所以四边形ABCD是平行四边形.又(·0,所以四边形对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.]

4(2016·安徽黄山二模)已知点A(0,1)B(2,3)C(1,2)D(1,5),则向量在方向上的投影为(  )

A.     B.

C.     D.

D [∵=(1,1),=(3,2)

∴在方向上的投影为||cos〈,〉====-.故选D.]

5.已知非零向量ab满足|b|4|a|,且a(2ab),则ab的夹角为(  )

A.     B.

C.     D.

C [a(2ab),∴a·(2ab)0

2|a|2a·b0

2|a|2|a||b|cosab〉=0.

|b|4|a|,∴2|a|24|a|2cosab〉=0

cosab〉=-,∴〈ab〉=.]

二、填空题

6(2016·全国卷Ⅰ)设向量a(m,1)b(1,2),且|ab|2|a|2|b|2,则m________.

2 [|ab|2|a|2|b|22a·b|a|2|b|2

a·b0.

a(m,1)b(1,2),∴m20,∴m=-2.]

7.在△ABC中,若···,则点O是△ABC________(填"重心""垂心""内心"或"外心")

垂心 [··

·()0

·0

OBCA,即OB为△ABC底边CA上的高所在直线.

同理·0·0,故O是△ABC的垂心.]

8.如图4?3?1,在平行四边形ABCD中,已知AB8AD5,=3·2,则·的值是________

【导学号:01772154

4?3?1

22 [由题意知:=+=+,

=+=+=-,

所以··2·2,即225·AB×64,解得·22.]

三、解答题

9.已知|a|4|b|8ab的夹角是120°.

(1)计算:①|ab|,②|4a2b|

(2)k为何值时,(a2b)(kab)

[] 由已知得,a·b4×8×=-16.    2

(1)①∵|ab|2a22a·bb2162×(16)6448,∴|ab|4.4

②∵|4a2b|216a216a·b4b216×1616×(16)4×64768

|4a2b|16.        6

(2)(a2b)(kab),∴(a2b)·(kab)0    8

ka2(2k1)a·b2b20

16k16(2k1)2×640,∴k=-7.

k=-7时,a2bkab垂直.        12

10在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,-2)B(2,3)C(2,-1)

(1)求以线段ABAC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;

(2)设实数t满足(t0,求t的值.

[] (1)由题设知=(3,5),=(1,1),则

+=(2,6),-=(4,4).        3

所以||2||4.

故所求的两条对角线长分别为42.    5

(2)由题设知=(2,-1)

t(32t,5t).        8

(t0

(32t,5t)·(2,-1)0

从而5t=-11,所以t=-.        12

B组 能力提升

(建议用时:15分钟)

1(2016·河南商丘二模)已知ab均为单位向量,且a·b0.|c4a||c3b|5,则|ca|的取值范围是 (  )

A[3]          B.[3,5]

C[3,4]     D.[5]

B [ab均为单位向量,且a·b0

∴设a(1,0)b(0,1)c(xy)

代入|c4a||c3b|5,得+=5.

(xy)A(4,0)B(0,3)的距离和为5.

c的终点轨迹是点(4,0)(0,3)之间的线段,

|ca|=,表示M(1,0)到线段AB上点的距离,

最小值是点(1,0)到直线3x4y120的距离,

|ca|min==3.

又最大值为|MA|5

|ca|的取值范围是[3,5].故选B.]

2.设向量a(a1a2)b(b1b2),定义一种向量积a?b(a1b1a2b2),已知向量m=,n=,点P(xy)ysin x的图象上运动,Q是函数yf(x)图象上的点,且满足=m?n(其中O为坐标原点),则函数yf(x)的值域是________

  [Q(cd),由新的运算可得

m?n=+

=,

消去xdsin

所以yf(x)sin

易知yf(x)的值域是.

3在△ABC中,角ABC的对边分别为abc,且满足(acc·.

【导学号:01772155

(1)求角B的大小;

(2)||=,求△ABC面积的最大值.

[] (1)由题意得(ac)cos Bbcos C.

根据正弦定理得(sin Asin C)cos Bsin Bcos C

所以sin Acos Bsin(CB)        2

sin Acos Bsin A,因为A(0π),所以sin A>0

所以cos B=,又B(0π),所以B.    5

(2)因为||=,所以||=,    7

b=,根据余弦定理及基本不等式得6a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当ac时取等号)

ac3(2)        9

故△ABC的面积Sacsin B

即△ABC的面积的最大值为.        12

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