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高考数学课时分层训练(二十九)等差数列及其前n项和  

2018-04-11 08:16:30|  分类: 试题精选 |  标签: |举报 |字号 订阅

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课时分层训练(二十九)

等差数列及其前n项和

A组 基础达标

(建议用时:30分钟)

一、选择题

1.在等差数列{an}中,a10,公差d0,若ama1a2+…+a9,则m的值为(  )

【导学号:01772178

A37         B.36

C20     D.19

A [ama1a2a99a1d36da37.]

2(2017·深圳二次调研)在等差数列{an}中,若前10项的和S1060,且a77,则a4(  )

【导学号:01772179

A4     B.4

C5     D.5

C [法一:由题意得解得∴a4a13d5,故选C.

法二:由等差数列的性质有a1a10a7a4,∵S10==60,∴a1a1012.又∵a77,∴a45,故选C.]

3(2017·福州质检)已知数列{an}是等差数列,且a72a46a32,则公差d(  )

A2     B.4

C8     D.16

B [法一:由题意得a32a72a4a34d2(a3d)6,解得d4,故选B.

法二:由题意得解得故选B.]

4.等差数列{an}中,已知a5>0a4a7<0,则{an}的前n项和Sn的最大值为(  )

【导学号:01772180

AS7     B.S6

CS5     D.S4

C [∵∴

Sn的最大值为S5.]

5(2017·湖北七市4月联考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:几日相逢?(  )

A9     B.8

C16     D.12

A [根据题意,显然良马每日行程构成一个首项a1103,公差d113的等差数列,前n天共跑的里程为Sna1d1103nn(n1)6.5n296.5n;驽马每日行程也构成一个首项b197,公差d2=-0.5的等差数列,前n天共跑的里程为Snb1d297nn(n1)=-0.25n297.25n.两马相逢时,共跑了一个来回.设其第n天相逢,则有6.5n296.5n0.25n297.25n1 125×2,解得n9,即它们第9天相遇,故选A.]

二、填空题

6(2017·郑州二次质量预测)已知{an}为等差数列,公差为1,且a5a3a11的等比中项,则a1__________.

1 [因为a5a3a11的等比中项,所以aa3·a11,即(a14d)2(a12d)(a110d),解得a1=-1.]

7(2016·北京高考)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a16a3a50,则S6________.

6 [a3a52a4,∴a40.

a16a4a13d,∴d=-2.

S66a1d6.]

8(2016·江苏高考)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1a=-3S510,则a9的值是________

20 [法一:设等差数列{an}的公差为d,由S510,知S55a1d10,得a12d2,即a122d,所以a2a1d2d,代入a1a=-3,化简得d26d90,所以d3a1=-4.a9a18d=-42420.

法二:设等差数列{an}的公差为d,由S510,知=5a310,所以a32.

a1a32a2,得a12a22,代入a1a=-3,化简得a2a210,所以a2=-1.

公差da3a2213,故a9a36d21820.]

三、解答题

9.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk110.

【导学号:01772181

(1)ak的值;

(2)设数列{bn}的通项bn=,证明:数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.

[] (1)设该等差数列为{an},则a1aa24a33a

由已知有a3a8,得a1a2,公差d422

所以Skka1·d2k×2k2k.    3

Sk110,得k2k1100

解得k10k=-11(舍去),故a2k10.    5

(2)证明:(1)Sn==n(n1)

bn==n1

bn1bn(n2)(n1)1        8

即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,

所以Tn==.        12

10(2017·合肥三次质检)等差数列{an}的首项a11,公差d0,且a3·a4a12.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)bnan·2n,求数列{bn}的前n项和Tn.

[] (1)a3·a4a12(12d)·(13d)111d?d1d0(不合题意舍去),∴数列{an}的通项公式为ann.        5

(2)依题意bnan·2nn·2n

Tn1×212×223×23n×2n

2Tn1×222×23(n1)×2nn×2n1    9

两式相减得-Tn2122232nn×2n1

=-n×2n1

(1n)2n12

Tn(n1)2n12.        12

B组 能力提升

(建议用时:15分钟)

1.设数列{an}的前n项和为Sn,若为常数,则称数列{an}为"吉祥数列".已知等差数列{bn}的首项为1,公差不为0,若数列{bn}为"吉祥数列",则数列{bn}的通项公式为(  )

【导学号:01772182

Abnn1         B.bn2n1

Cbnn1     D.bn2n1

B [设等差数列{bn}的公差为d(d0),=k,因为b11,则nn(n1)dk

2(n1)d4k2k(2n1)d

整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.

因为对任意的正整数n上式均成立,

所以(4k1)d0(2k1)(2d)0

解得d2k=,

所以数列{bn}的通项公式为bn2n1.]

2.已知等差数列{an}的首项a120,公差d=-2,则前n项和Sn的最大值为__________

110 [因为等差数列{an}的首项a120,公差d=-2,代入求和公式得,

Snna1d20n×2

=-n221n=-22

又因为nN*,所以n10n11时,Sn取得最大值,最大值为110.]

3(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sna11an0anan1λSn1,其中λ为常数.

(1)证明:an2anλ

(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.

[] (1)证明:由题设知anan1λSn1an1an2λSn11    2

两式相减得an1(an2an)λan1

由于an10,所以an2anλ.        5

(2)由题设知a11a1a2λS11

可得a2λ1.

(1)知,a3λ1.        7

2a2a1a3,解得λ4.

an2an4,由此可得{a2n1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n14n3        9

{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n4n1.

所以an2n1an1an2

因此存在λ4,使得数列{an}为等差数列.    12

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