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高考数学课时分层训练(二十二) 正弦定理和余弦定理  

2018-04-11 07:52:32|  分类: 试题精选 |  标签: |举报 |字号 订阅

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课时分层训练(二十二) 

正弦定理和余弦定理

A组 基础达标

(建议用时:30分钟)

一、选择题

1.设△ABC的内角ABC所对的边分别为abc,若bcos Cccos Basin A,则△ABC的形状为(  )

【导学号:01772130

A.锐角三角形        B.直角三角形

C.钝角三角形     D.不确定

B [由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A

sin(BC)sin2A

sin(πA)sin2Asin Asin2A.

A(0π),∴sin A0,∴sin A1,即A.]

2.在△ABC中,已知b40c20C60°,则此三角形的解的情况是(  )

【导学号:01772131

A.有一解     B.有两解

C.无解     D.有解但解的个数不确定

C [由正弦定理得=,

sin B===>1.

∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.]

3(2016·天津高考)在△ABC中,若AB=,BC3,∠C120°,则AC(  )

A1       B.2  

C.3       D.4

A [由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cos C,即13AC292AC×3×cos 120°,化简得AC23AC40,解得AC1AC=-4(舍去).故选A.]

4(2017·重庆二次适应性测试)在△ABC中,内角ABC的对边分别为abc,且a2b2c2ab=,则△ABC的面积为(  )

A.     B.

C.     D.

B [依题意得cos C==,C60°,因此△ABC的面积等于absin C××=,故选B.]

5(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A

(  )

A.     B.

C.     D.

C [法一:过AADBC,垂足为D,由题意知ADBDBC,则CDBCABBCACBC,在△ABC中,由余弦定理的推论可知,cos BAC===-,故选C.

法二:过AADBC,垂足为D,由题意知ADBDBC,则CDBC

RtADC中,ACBCsin DAC=,

cos DAC=,又因为∠B=,

所以cos BACcoscos DAC·cossinDAC·sin××=-,故选C.]

二、填空题

6(2017·郴州模拟)在△ABC中,a15b10A60°,则cos B__________.

 [由正弦定理可得=,所以sin B=,再由ba,可得B为锐角,

所以cos B==.]

7(2016·青岛模拟)如图3?6?1所示,在△ABC中,已知点DBC边上,ADACsinBAC=,AB3AD3,则BD的长为________

3?6?1

 [sinBACsin(90°+∠BAD)cosBAD=,

∴在△ABD中,有BD2AB2AD2AB·ADcosBAD

BD21892×3×3×3

BD.]

8.已知△ABC中,AB=,BC1sin Ccos C,则△ABC的面积为________.

【导学号:01772132

 [sin Ccos Ctan C=>0,所以C.

根据正弦定理可得=,即==2

所以sin A.因为ABBC,所以AC,所以A=,所以B=,即三角形为直角三角形,

SABC××1.]

三、解答题

9.在△ABC中,角ABC所对的边分别为abc,已知a2c5cos B.

【导学号:01772133

(1)b的值;

(2)sin C的值.

[] (1)因为b2a2c22accos B4252×2×5×17,所以b.        5

(2)因为cos B=,所以sin B=,        7

由正弦定理=,得=,

所以sin C.        12

10(2017·云南二次统一检测)ABC的内角ABC的对边分别为abcm(sin B,5sin A5sin C)n(5sin B6sin Csin Csin A)垂直.

(1)sin A的值;

(2)a2,求△ABC的面积S的最大值.

[] (1)m(sin B,5sin A5sin C)n(5sin B6sin Csin Csin A)垂直,∴m·n5sin2B6sin Bsin C5sin2C5sin2A0

sin2Bsin2Csin2A.        3

根据正弦定理得b2c2a2=,

由余弦定理得cos A==.

A是△ABC的内角,

sin A==.        6

(2)(1)b2c2a2=,

∴=b2c2a22bca2.        8

又∵a2,∴bc10.

∵△ABC的面积Sbcsin A4

∴△ABC的面积S的最大值为4.        12

B组 能力提升

(建议用时:15分钟)

1(2016·山东高考)ABC中,角ABC的对边分别是abc已知bca22b2(1sin A),则A(  )

A.     B.

C.     D.

C [bc,∴BC.

又由ABCπB=-.

由正弦定理及a22b2(1sin A)

sin2A2sin2B(1sin A)

sin2A2sin2(1sin A)

sin2A2cos2(1sin A)

4sin2cos22cos2(1sin A)

整理得cos20

cos2(cos Asin A)0.

0Aπ,∴0<<,∴cos 0

cos Asin A.又0Aπ,∴A.]

2(2014·全国卷Ⅰ)已知abc分别为△ABC三个内角ABC的对边,a2,且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C,则△ABC面积的最大值为________

 [∵===2Ra2

(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化为

(ab)(ab)(cbc

a2b2c2bc,∴b2c2a2bc

∴===cos A,∴∠A60°.

∵△ABC中,4a2b2c22bc·cos 60°b2c2bc2bcbcbc(""当且仅当bc时取得)

SABC·bc·sin A≤×4×.]

3.在△ABC中,cos C是方程2x23x20的一个根.

(1)求角C

(2)ab10时,求△ABC周长的最小值.

[] (1)因为2x23x20,所以x12x2=-.    2

又因为cos C是方程2x23x20的一个根,

所以cos C=-,所以C.        5

(2)由余弦定理可得:c2a2b22ab·(ab)2ab    7

c2100a(10a)(a5)275

a5时,c最小且c==5,此时abc105

所以△ABC周长的最小值为105.     12

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