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高考数学课时分层训练(十五) 导数与函数的极值、最值  

2018-04-10 08:01:27|  分类: 试题精选 |  标签: |举报 |字号 订阅

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课时分层训练(十五) 

导数与函数的极值、最值

A组 基础达标

(建议用时:30分钟)

一、选择题

1.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是(  )

Ayx3           B.yln(x)

Cyxex     D.yx

D [由题可知,BC选项中的函数不是奇函数,A选项中,函数yx3单调递增(无极值),而D选项中的函数既为奇函数又存在极值.] 

2.当函数yx·2x取极小值时,x等于(  )

【导学号:01772089

A.     B.

C.-ln 2     D.ln 2

B [y2xx·2xln 20

x=-.

经验证,-为函数yx·2x的极小值点.]

3.函数f(x)x2ln x的最小值为(  )

A.       B.1

C.0       D.不存在

A [f(x)x-=,且x>0,令f(x)>0,得x>1,令f(x)<0,得0<x<1,所以f(x)x1处取得极小值也是最小值,且f(1)=-ln 1.]

4.已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是(  )

【导学号:01772090

A(1,2)     B.(-∞,-3)(6,+∞)

C(3,6)     D.(-∞,-1)(2,+∞)

B [f(x)3x22ax(a6)

由已知可得f(x)0有两个不相等的实根,

Δ4a24×3(a6)0,即a23a180

a6a<-3.]

5.设函数f(x)ax2bxc(abcR),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为yf(x)图象的是(  )

A    B     C     D

D [因为[f(x)ex]f(x)exf(x)(ex)[f(x)f(x)]ex,且x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,所以f(1)f(1)0.选项D中,f(1)0f(1)0,不满足f(1)f(1)0.]

二、填空题

6.函数f(x)x3x23x4[0,2]上的最小值是________.

【导学号:01772091

- [f(x)x22x3,令f(x)0x1(x=-3舍去),又f(0)=-4f(1)=-,f(2)=-,故f(x)[0,2]上的最小值是f(1)=-.]

7.设aR,若函数yexax有大于零的极值点,则实数a的取值范围是________

(-∞,-1) [yexax,∴yexa.

∵函数yexax有大于零的极值点,

则方程yexa0有大于零的解,

x0时,-ex<-1,∴a=-ex<-1.]

8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p元,销量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q8 300170pp2,则该商品零售价定为________元时利润最大,利润的最大值为________元.

30 23 000 [设该商品的利润为y元,由题意知,

yQ(p20)=-p3150p211 700p166 000

y=-3p2300p11 700

y0p30p=-130()

p(0,30)时,y0,当p(30,+)时,y0

因此当p30时,y有最大值,ymax23 000.]

三、解答题

9.已知函数f(x)=-x3ax2b(abR)

(1)要使f(x)(0,2)上单调递增,试求a的取值范围;

(2)a<0时,若函数满足y极大1y极小=-3,试求yf(x)的解析式.

[] (1)f(x)=-3x22ax.

依题意f(x)0(0,2)上恒成立,

2ax3x2.x0,∴2a3x,∴2a6,∴a3

a的取值范围是[3,+).        5

(2)f(x)=-3x22axx(3x2a)

a0,当x∈时,f(x)0f(x)递减.

x∈时,f(x)0f(x)递增.

x[0,+)时,f(x)0f(x)递减.     8

?

f(x)=-x33x21.     12

10.据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为k(k>0).现已知相距18 kmAB两家化工厂(污染源)的污染强度分别为ab,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设ACx(km)

(1)试将y表示为x的函数;

(2)a1,且x6时,y取得最小值,试求b的值.

[] (1)设点CA污染源污染程度为,点CB污染源污染程度为,其中k为比例系数,且k>0,从而点C处受污染程度y=+.

        5

(2)因为a1,所以y=+,

yk8

y0,得x=,

又此时x6,解得b8,经验证符合题意,

所以,污染源B的污染强度b的值为8.    12

B组 能力提升

(建议用时:15分钟)

1(2017·石家庄一模)若函数f(x)x3ax2bx(abR)的图象与x轴相切于一点A(m,0)(m0),且f(x)的极大值为,则m的值为(  )

【导学号:01772092

A.-      B.

C.       D.

D [由题意可得f(m)m3am2bm0m0,则m2amb0 ①,且f(m)3m22amb0 ②,①-②化简得m=-,f(x)3x22axb的两根为-和-,则b=,f=,解得a=-3m=,故选D.]

2(2016·北京高考改编)设函数f(x)=则f(x)的最大值为________

2 [x0时,f(x)=-2x0;当x0时,f(x)3x233(x1)(x1),当x<-1时,f(x)0f(x)是增函数,当-1x0时,f(x)0f(x)是减函数,∴f(x)f(1)2,∴f(x)的最大值为2.]

3.已知函数f(x)ax3bxc在点x2处取得极值c16.

(1)ab的值;

(2)f(x)有极大值28,求f(x)[3,3]上的最小值.

[] (1)因为f(x)ax3bxc

f(x)3ax2b.2

由于f(x)在点x2处取得极值c16

故有即

化简得解得 5

(2)(1)f(x)x312xc

f(x)3x2123(x2)(x2)

f(x)0,得x1=-2x22.

x(,-2)时,f(x)0

f(x)(,-2)上为增函数; 7

x(2,2)时,f(x)0

f(x)(2,2)上为减函数; 8

x(2,+)时,f(x)0

f(x)(2,+)上为增函数.

由此可知f(x)x=-2处取得极大值,

f(2)16c

f(x)x2处取得极小值f(2)c16.

由题设条件知16c28,解得c12. 10

此时f(3)9c21f(3)=-9c3

f(2)=-16c=-4

因此f(x)[3,3]上的最小值为f(2)=-4. 12

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