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高考数学热点探究训练(四) 立体几何中的高考热点问题  

2018-03-31 06:59:49|  分类: 试题精选 |  标签: |举报 |字号 订阅

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热点探究训练(四) 

立体几何中的高考热点问题

1.如图9所示,已知直三棱柱ABC?A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC90°,且ABAA1DEF分别为B1AC1CBC的中点.求证:

9

(1)DE∥平面ABC

(2)B1F⊥平面AEF.

[证明] (1)如图,建立空间直角坐标系A?xyz,令ABAA14

A(0,0,0)E(0,4,2)F(2,2,0)B(4,0,0)B1(4,0,4)

AB中点为N,连接CN

N(2,0,0)C(0,4,0)D(2,0,2)3

∴=(2,4,0),=(2,4,0)

∴=,∴DENC.

又∵NC?平面ABCDE?平面ABC.

DE∥平面ABC.        6

(2)(2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0)

·(2)×22×(2)(4)×(2)0

·(2)×22×2(4)×00.    9

∴⊥,⊥,即B1FEFB1FAF.

又∵AFFEF,∴B1F⊥平面AEF.    12

2(2017·合肥模拟)如图10,六面体ABCDHEFG中,四边形ABCD为菱形,AEBFCGDH都垂直于平面ABCD.DADHDB4AECG3.

10

(1)求证:EGDF

(2)BE与平面EFGH所成角的正弦值.

【导学号:01772282

[] (1)证明:连接AC,由AECG可得四边形AEGC为平行四边形,所以EGAC,而ACBDACBF

所以EGBDEGBF        3

因为BDBFB,所以EG⊥平面BDHF

DF?平面BDHF,所以EGDF.        5

(2)ACBDOEGHFP

由已知可得,平面ADHE∥平面BCGF,所以EHFG

同理可得EFHG,所以四边形EFGH为平行四边形,

所以PEG的中点,OAC的中点,

所以OPAE,从而OP⊥平面ABCD.    7

OAOB,所以OAOBOP两两垂直.

由平面几何知识得BF2.

如图,建立空间直角坐标系O?xyz

B(0,2,0)E(20,3)F(0,2,2)P(0,0,3)

所以=(2,-2,3),=(20,0),=(0,2,-1).    9

设平面EFGH的法向量为n(xyz)

由可得

y1,则z2,所以n(0,1,2)

BE与平面EFGH所成角为θ

sin θ==.

故直线BE与平面EFGH所成角的正弦值为.    12

3.如图11,直角三角形ABC中,∠A60°,∠ABC90°AB2E为线段BC上一点,且BEBC,沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置.

【导学号:01772283

11

(1)求证:BDPE

(2)当平面PBD⊥平面BCD时,求二面角C?PB?D的余弦值.

[] 由已知得DCPDPBBD2BC2.    1

(1)证明:BD的中点O,连接OEPO.

OB1BE=且∠OBE30°,∴OE=,∴OEBD.3

PBPDOBD的中点,∴POBD.

POOEO,∴BD⊥平面POE.PE?平面POE

BDPE.        5

(2)∵平面PBD⊥平面BCD,平面PBD平面BCDBDPOBD,∴PO⊥平面BCD

OEOBOP两两垂直,如图以O为坐标原点,以OEOBOP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

B(0,1,0)P(0,0)C(,-2,0)

∴=(0,-1),=(,-3,0).    7

设平面PBC的法向量为n(xyz)

∴不妨令y=,得n(3,,1).    10

又平面PBD的一个法向量为m(1,0,0)

cosmn〉=,

故二面角C?PB?D的余弦值为.        12

4(2016·山东高考)在如图12所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的条母线.

12

(1)已知GH分别为ECFB的中点,求证:GH∥平面ABC

(2)已知EFFBAC2ABBC,求二面角 F?BC?A的余弦值.

[] (1)证明:CF的中点为I,连接GIHI.

在△CEF中,因为点GI分别是CECF的中点,

所以GIEF.        2

EFOB,所以GIOB.

在△CFB中,因为HI分别是FBCF的中点,

所以HIBC.

HIGII

所以平面GHI∥平面ABC.

因为GH?平面GHI

所以GH∥平面ABC.        5

(2)法一:连接OO,则OO⊥平面ABC.

ABBC,且AC是圆O的直径,

所以BOAC.

O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.

由题意得B(0,20)C(20,0)

过点FFMOB于点M

所以FM==3,可得F(0,,3).    7

故=(2,-20),=(0,-,3)

m(xyz)是平面BCF的法向量.

可得        10

可得平面BCF的一个法向量m.

因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1)

所以cos mn〉==,

所以二面角F?BC?A的余弦值为.        12

法二:如图,连接OO,过点FFMOB于点M,则有FMOO.

OO⊥平面ABC

所以FM⊥平面ABC

可得FM==3.        7

过点MMNBC于点N,连接FN

可得FNBC

从而∠FNM为二面角F?BC?A的平面角.

ABBCAC是圆O的直径,

所以MNBMsin 45°.        10

从而FN=,可得cosFNM.

所以二面角F?BC?A的余弦值为.        12

5.已知四棱锥P?ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCDAD2AB1EF分别是线段ABBC的中点.

13

(1)求证:PFFD

(2)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD

(3)PB与平面ABCD所成的角为45°,求二面角A?PD?F的余弦值.

[] (1)证明:PA⊥平面ABCD,∠BAD90°AB1AD2.

建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz

A(0,0,0)B(1,0,0)F(1,1,0)D(0,2,0),不妨令P(0,0t)t>0.1

∵=(1,1,-t),=(1,-1,0)

·1×11×(1)(t)×00

PFFD.3

(2)设平面PFD的法向量为n(xyz)

由得则

z1,则n.

G(0,0m)(0mt).        5

E

∴=,由题意·n0

∴-+m0,∴mt

∴当G是线段PA的靠近于A的一个四等分点时,使得EG∥平面PFD.8

(3)PA⊥平面ABCD

∴∠PBA就是PB与平面ABCD所成的角,

即∠PBA45°,∴PAAB1P(0,0,1)

(2)知平面PFD的一个法向量为n.        10

易知平面PAD的一个法向量为=(1,0,0)

cos〈,n〉===.

由图知,二面角A?PD?F的平面角为锐角,

∴二面角A?PD?F的余弦值为.        12

6(2015·全国卷Ⅰ)如图14,四边形ABCD为菱形,∠ABC120°EF是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCDDF⊥平面ABCDBE2DFAEEC.

14

(1)证明:平面AEC⊥平面AFC

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

[] (1)证明:如图,连接BD,设BDACG,连接EGFGEF.

在菱形ABCD中,不妨设GB1.ABC120°,可得AGGC.    

        1

BE平面ABCDABBC,可知AEEC.

AEEC,所以EG=,且EGAC.

Rt△EBG中,可得BE=,故DF.

Rt△FDG中,可得FG.

在直角梯形BDFE中,由BD2BE=,DF=,可得EF.3

从而EG2FG2EF2,所以EGFG.

ACFGG,所以EG平面AFC.

因为EG?平面AEC,所以平面AEC平面AFC.        5

(2)如图,以G为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴正方向,||为单位长度,建立空间直角坐标系G?xyz.        6

(1)可得A(0,-,0)E(1,0)FC(0,,0)

所以=(1,,),=.        9

cos〈,〉==-.

所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.    12

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