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高考数学热点探究训练(三) 数列中的高考热点问题  

2018-03-31 06:57:54|  分类: 试题精选 |  标签: |举报 |字号 订阅

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热点探究训练(三) 数列中的高考热点问题

1(2017·广州综合测试())已知数列{an}是等比数列,a24a32a2a4的等差中项.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)bn2log2an1,求数列{anbn}的前n项和Tn.

[] (1)设数列{an}的公比为q

因为a24,所以a34qa44q2.        2

因为a32a2a4的等差中项,所以2(a32)a2a4.

2(4q2)44q2,化简得q22q0.

因为公比q0,所以q2.

所以ana2qn24×2n22n(nN*).        5

(2)因为an2n,所以bn2log2an12n1

所以anbn(2n1)2n        7

Tn1×23×225×23(2n3)2n1(2n1)2n,①

2Tn1×223×235×24(2n3)2n(2n1)2n1.

由①-②得,-Tn22×222×232×2n(2n1)2n1

22×(2n1)2n1

=-6(2n3)2n1

所以Tn6(2n3)2n1.        12

2已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f(x)6x2,数列{an}的前n项和为Sn,点(nSn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)bn=,试求数列{bn}的前n项和Tn.

[] (1)设二次函数f(x)ax2bx(a0)

f(x)2axb.

f(x)6x2,得a3b=-2

所以f(x)3x22x.        2

又因为点(nSn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上,

所以Sn3n22n.

n2时,anSnSn13n22n[3(n1)22(n1)]6n5

n1时,a1S13×122×16×15

所以an6n5(nN*).        5

(2)(1)bn==

=,        8

Tn

.        12

3(2016·南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sna11S36.正项数列{bn}满足b1·b2·b3··bn2Sn.

(1)求数列{an}{bn}的通项公式;

(2)λbn>an,对nN*均成立,求实数λ的取值范围.

[] (1)∵等差数列{an}中,a11S36

d1,故ann.        2

÷②得bn2SnSn12an2n(n2)

b12S1212,满足通项公式,故bn2n.        5

(2)λbn>an恒成立,即λ>恒成立,        7

cn=,则=,

n1时,cn1cn{cn}单调递减,

(cn)maxc1=,故λ>,∴λ的取值范围是.    12

4(2016·四川高考)已知数列{an}的首项为1Sn为数列{an}的前n项和,Sn1qSn1,其中q>0nN*.

(1)2a2a3a22成等差数列,求数列{an}的通项公式;

(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=,证明:e1e2+…+en>.

[] (1)由已知,Sn1qSn1Sn2qSn11,两式相减得到an2qan1n1.

又由S2qS11得到a2qa1

an1qan对所有n1都成立,

所以数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.    3

从而anqn1.

2a2a3a22成等差数列,可得

2a33a22,即2q23q2,则(2q1)(q2)0.

由已知,q>0,故q2.

所以an2n1(nN*).        5

(2)证明:(1)可知,anqn1

所以双曲线x2-=1的离心率en==.    7

e2==,解得q.

因为1q2(k1)>q2(k1),所以>qk1(kN*).    10

于是e1e2en>1qqn1=,

e1e2en>.        12

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