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高考数学热点探究训练(一) 导数应用中的高考热点问题  

2018-03-30 09:20:39|  分类: 试题精选 |  标签: |举报 |字号 订阅

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热点探究训练(一) 

导数应用中的高考热点问题

1(2014·全国卷Ⅱ节选)已知函数f(x)exex2x.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)g(x)f(2x)4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值.

[] (1)f(x)exex20,等号仅当x0时成立.

所以f(x)(,+)单调递增. 3

(2)g(x)f(2x)4bf(x)

e2xe2x4b(exex)(8b4)x

g(x)2[e2xe2x2b(exex)(4b2)]

2(exex2)(exex2b2). 5

①当b2时,g(x)0,等号仅当x0时成立,所以g(x)(,+)单调递增.

g(0)0,所以对任意x>0g(x)>0. 8

②当b>2时,若x满足2<exex<2b2,即0<x<ln(b1)时,g(x)<0.

g(0)0,因此当0<x<ln(b1)时,g(x)<0.

综上,b的最大值为2. 12

2.已知函数f(x)ex(x2axa),其中a是常数.

 

【导学号:01772100

(1)a1时,求曲线yf(x)在点(1f(1))处的切线方程;

(2)若存在实数k,使得关于x的方程f(x)k[0,+∞)上有两个不相等的实数根,求k的取值范围.

[] (1)f(x)ex(x2axa)可得

f(x)ex[x2(a2)x]. 2

a1时,f(1)ef(1)4e.

所以曲线yf(x)在点(1f(1))处的切线方程为:

ye4e(x1),即y4ex3e. 5

(2)f(x)ex[x2(a2)x]0

解得x=-(a2)x0. 6

当-(a2)0,即a2时,在区间[0,+)上,f(x)0

所以f(x)[0,+)上的增函数,

所以方程f(x)k[0,+)上不可能有两个不相等的实数根. 8

当-(a2)0,即a<-2时,f(x)f(x)x的变化情况如下表:

x 

0

(0,-(a2))

(a2)

((a2),+)

f(x)

0

0

f(x)

a

 

由上表可知函数f(x)[0,+)上的最小值为

f((a2)).

因为函数f(x)(0,-(a2))上的减函数,

((a2),+)上的增函数,且当xa时,

f(x)ea(a)>-a,又f(0)=-a.

所以要使方程f(x)k[0,+)上有两个不相等的实数根,则k的取值范围是. 12

3(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)f(x)有两个零点,求a的取值范围.

[] (1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).1

()a0,则当x(1)时,f(x)0

x(1,+)时,f(x)0.

所以f(x)(1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.    3

()a0,由f(x)0x1xln(2a)

①若a=-,则f(x)(x1)(exe)

所以f(x)(,+)上单调递增.

②若a>-,则ln(2a)1

故当x(ln(2a))(1,+)时,f(x)0

x(ln(2a)1)时,f(x)0.

所以f(x)(ln(2a))(1,+)上单调递增,在(ln(2a)1)上单调递减. 5

③若a<-,则ln(2a)1

故当x(1)(ln(2a),+)时,f(x)0

x(1ln(2a))时,f(x)0.

所以f(x)(1)(ln(2a),+)上单调递增,在(1ln(2a))上单调递减. 7

(2)()a0,则由(1)知,f(x)(1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.又f(1)=-ef(2)a,取b满足b0bln,则f(b)(b2)a(b1)2a0,所以f(x)有两个零点. 9

()a0,则f(x)(x2)ex,所以f(x)只有一个零点.

()a0,若a-,则由(1)知,f(x)(1,+)上单调递增.又当x1f(x)0,故f(x)不存在两个零点;若a<-,则由(1)知,f(x)(1ln(2a))上单调递减,在(ln(2a),+)上单调递增.又当x1时,f(x)0,故f(x)不存在两个零点.

综上,a的取值范围为(0,+). 12

4(2017·郑州二次质量预测)已知函数f(x).

(1)讨论函数yf(x)x(m,+∞)上的单调性;

(2)m∈,则当x[mm1]时,函数yf(x)的图象是否总在函数g(x)x2x图象上方?请写出判断过程.

[] (1)f(x)==, 2

x(mm1)时,f(x)0;当x(m1,+)时,f(x)0

所以函数f(x)(mm1)上单调递减,在(m1,+)上单调递增.4

(2)(1)f(x)(mm1)上单调递减,

所以其最小值为f(m1)em1. 5

因为m∈,g(x)x[mm1]最大值为(m1)2m1.

所以下面判断f(m1)(m1)2m1的大小,即判断ex(1x)x的大小,其中xm1.

m(x)ex(1x)xm(x)ex2x1

h(x)m(x),则h(x)ex2

因为xm1∈,所以h(x)ex20m(x)单调递增.        8

所以m(1)e30me40,故存在x0∈,使得m(x0)ex02x010

所以m(x)(1x0)上单调递减,在上单调递增,

所以m(x)m(x0)ex0xx02x01xx0=-xx01

所以当x0∈时,m(x0)=-xx010

ex(1x)x,也即f(m1)(m1)2m1

所以函数yf(x)的图象总在函数g(x)x2x图象上方. 12

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